Teorema de Bayes

Instituto Tecnológico de Tijuana

Probabilidad y Estadística

Teorema de Bayes

Docente: Ángela Colunga Aldana

Alumno: Avendaño Reveles Daniel

Tijuana, Baja California a 5 de noviembre de 2013

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deA_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al teorema de Bayes:

Ejemplo

Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución:

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Problema en Excel

Se introduce el Programa Bayes que calcula las probabilidades finales P(Ai/D) de un conjunto de sucesos Ai, dadas sus probabilidades iniciales P(Ai) y las verosimilitudes P(D/Ai) de unos ciertos datos D, dador los sucesos Ai para un máximo de 8 sucesos. Proporciona el producto de las probabilidades iniciales por las verosimilitudes y las probabilidades finales mediante la fórmula de Bayes.